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평균분산분석(Mean Variance Optimisation)

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작성자 헷지드월드 작성일2011-12-29 11:45 조회2,463회 댓글0건

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포트폴리오이론에서는 위험을 변동성으로 정의한다.

정확하게는 통계학의 분산 (variance)개념으로 위험을 정의하는 것이다.

투자의 수익율은 정규분포를 따르고 있으며 정규분포의 특성상 평균값 (mean)과 분산 (variance)만을 알고 있으면 모집단을 완전하게 추정할 수 있다. 보통 분산보다는 표준편차를 많이 사용하지만 표준편차는 분산의 제곱근을 구한 것에 불과하다.

 

가령 S&P 500지수는 과거 1950년부터 2007년까지 연평균수익율 8.66%에 표준편차는 15.72%의 성적을 보였다.

 

우리는 이 숫자로부터 S&P 500 지수가 연평균으로는 8.66%의 수익율을 달성했다는 정보를 얻을 수 있지만 표준편차를 통하여 그보다 많은 정보를 유추할 수 있다. 정규분포상에서는 표본의 68%가 평균에서 1 표준편차의 범위내에 존재하며 95%가 2 표준편차의 범위내에 그리고 99%가 3표준편차의 범위내에 존재한다.

 

그러므로 위의 S&P 500의 과거 데이터로부터 68%의 확율로 수익율이 -7.06%에서 24.38%의 범위내에 있을 것으로 추정할 수 있다.

또 95%의 확율로 수익율이 -22.78%에서 40.1%의 범위내에 존재할 것으로 추정할 수 있다.

그러므로 위의 정보로부터 얼마의 수익율을 기대할 수 있는가 하는 추정에 더하여 얼마의 확율로 기대한 수익율과는 반대로 손해를 보거나 아니면 초과수익을 얻을 수 있는가 하는 것을 추정할 수가 있는 것이다.

 

그러므로 효율적인 투자수익을 얻기 위해서는 return을 높이는 것도 중요하지만 위험을 줄이는 것 또한 중요한데 MVO적 관점에서의 위험을 줄이는 방법은 포트폴리오의 분산을 줄이는 것이 되는 것이다. 여기에서 필연적으로 도출되는 결론이 이른바 분산투자다.

 

(MVO에 있어서 분산은 아래쪽과 윗쪽의 차별이 없다. 즉 평균에서 아래쪽으로 이탈하여 마이너스 수익율이 나는 것이나 평균을 크게 뛰어넘는 초과수익이 나는 것이나 무차별하게 같이 위험으로 취급되어 버린다. 바꿔 말하면 정규분포상 평균값의 왼쪽이나 오른쪽이나 무차별한 것이다. 어떤 사람들은 위와 같은 이유로 포트폴리오이론을 폄하하기도 한다. 위험을 단순히 수학적으로 정의하여 버림으로써 안정적인 수익을 얻을 수는 있지만 동시에 초과수익에 대한 기대를 버린다는 것이다. 대표적인 사람이 오마하의 현인 워렌버핏이다. 워렌버핏은 옵션과 같은 파생상품도 싫어하지만 포트폴리오이론에 대해서도 한마디로 멍청한 이론이라고 생각하는 사람이다.)

 

마코위츠 (Harry Markowitz)는 위와 같은 정규분포의 특성 위에 현대 포트폴리오 이론을 정립하여 1990년 노벨상을 수상하였다.

마코위츠는 몇가지 가정을 추가한 다음 완벽한 분산투자를 통한 시장포트폴리오의 개념을 도입한다.

 

마코위츠의 가정이란 다음과 같은 것이다.

 

1. 모든 투자자는 위험기피적이다. 즉 같은 수익율이면 위험이 작은 투자를 선호하며 같은 위험이면 기대수익율이 높은 투자를 선택한다.

2. 모든 자산에 대한 기대수익율이 알려져 있다.

3. 모든 자산의 분산과 공분산이 알려져 있다.

4. 평균과 분산 만으로 모든 자산의 수익율분포를 알 수 있다. 즉 첨도나 왜도는 고려하지 않는다.

5. 거래수수료나 세금이 없다.

 

위와 같은 가정에 이어 전개되는 이야기는 순수하게 산수의 세계일 뿐이다.

2개의 주식에 투자한 포트폴리오의 기대수익율과 분산은 다음 공식에 의해서 산출된다.

 

  • 기대수익율 : 35a6d5dea9abb724dff9880dbcabc8fa.png
  • 분산           : 49ab3013d5662416dda518eaad45f638.png

여기서 분산투자의 효과를 극대화하는 것은 두 주식이 가지고 있는 상관계수(correlation)이다.

이 상관계수는 -1에서 1의 사이에 있게 되는데 이것이 작으면 작을수록 포트폴리오의 분산이 작아진다.

이 관계를 그래프로 나타내면 다음과 같이 된다.

 

1_oneidjack.png

 

위의 그래프에서 가로축은 표준편차이며 세로축은 기대수익율이다.

q와 s의 사이의 직선으로 표시되는 것이 두 자산의 상관계수가 1일 경우이며

qy ys의 두개의 직선으로 표시되는 것이 두 자산의 상관계수가 -1일 경우다. 이 경우는 분산이 제로 즉 리스크가 0 인 상태다.

일반적인 경우가 바로 quvs의 곡선으로서 왼쪽으로 컵모양으로 불룩하게 튀어나온 곡선이 된다.

 

이 그림이 말하는 것은 두자산의 공분산이 1일 때를 제외하고는 반드시 분산투자의 효과가 나타난다는 것이다.

즉 q점에서 출발하여 기대수익율이 높아짐에도 불구하고 위험은 줄어드는 구간이 반드시 존재하며 만일 공분산이 작아져서 -1 이 되면 위험이 완전히 사라지는 것이다.

 

이세상에 공분산이 완전히 1인 주식은 없다.

그러므로 MVO에 의하면 한개의 주식보다는 두개의 주식이 두개보다는 세개가 그리고 많으면 많을수록 좋다는 이야기가 된다.

나아가 주식 뿐이 아니라 채권 부동산 헷지펀드와 같이 완전히 다른 종류의 자산간 그리고 다른 나라들의 주식 채권 부동산 등으로 편입대상을 넓히면 넓힐수록 효율적인 분산투자가 된다.

이렇게 해서 포트폴리오에 여러개의 주식을 편입하면 각자 개별기업의 특성에 의한 위험이 줄어들고 결국에는 더이상 줄어들 수 없는 상태의 위험만이 남게 되는데 이것을 시스템적 위험 (systematic risk) 또는 시장위험 (Market Risk)라 부른다.

 

2_oneidjack.png

 

 

한편 시장의 모든 자산을 편입하게 되었을 경우 나타나게 될 자산들의 조합을 그래프로 나타내면 다음 그림과 같이 되는데 이것을 효율적투자선 (efficient frontier)라고 부른다. 좀전에 설명한대로 상관계수가 1보다 작으면 자산들의 수익율과 위험의 관계는 두점에서 왼쪽으로 굴곡된 곡선을 따르는데 그 곡선에서 위험이 가장 작은 꼭지점을 최소분산포트폴리오라고 부른다. 이 최소분산포트폴리오보다 아래쪽에 위치한 포트폴리오들은 지배원리에 의해서 비효율적인 포트폴리오로서 버려지게 된다. 이 최소분산포트폴리오의 윗쪽에 위치한 포트폴리오들의 집합이 바로 효율적투자선을 구성하는 것이다.

 

한편 무위험자산 (가령 국채)과 위험자산과의 관계는 어떻게 될까? 무위험자산은 분산이 0 이다. 고로 다른 위험자산과의 공분산도 당연히 0 이 된다. 위험자산과 무위험자산을 포트폴리오에 편입하게 되면 가장 효율적인 투자선은 에피션트 프론티어와 무위험자산을 직선으로 연결한 선상에 놓이게 된다. 이 새로운 효율적인 투자선을 자본배분선 (CAL capital allocation line)이라고 하며 아래 그림에서는 하늘색직선으로 나타난다.

 

새로운 효율적투자선상에서 투자자들은 자신들의 위험선호도에 따라 시장포트폴리오와 무위험자산의 조합에 투자하게 되며 아래 그림에서 시장포트폴리오보다 오른쪽에 있는 부분은 투자자가 무위험자산으로 차입을 해서 시장포트폴리오에 투자한 경우를 나타낸다.

 

3_oneidjack.png

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